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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
f) f(x)=xx2−1f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

En este caso tenemos que pedir que x2−1≠0x^2 -1\neq 0. Despejando, el dominio de ff es R−{−1,1}\mathbb{R} -\{-1,1 \}

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=(x2−1)−x ⋅2x(x2−1)2=−x2−1(x2−1)2 f'(x) = \frac{(x^2 - 1) - x  \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2}

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

−x2−1(x2−1)2=0\frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = 0

−x2−1=0-x^2-1 = 0

x2=−1→x^2 = -1 \rightarrow Absurdo

Por lo tanto, ff no tiene puntos críticos.

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) (−∞,−1) (-\infty, -1) b) (−1,1) (-1, 1) c) (1,+∞) (1, +\infty)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

Y ahora podés reemplazar con algún número de cada intervalo en f′(x)f'(x) e ir chequeando qué signo te da, como siempre, pero también si mirás con atención la expresión de f′(x)f'(x), vas a ver que algo así siempre siempre te va a devolver un número negativo. Por lo tanto, ff es siempre decreciente en su dominio.

Recapitulando,

Intervalo de crecimiento: ∅\emptyset

Intervalo de decrecimiento: (−∞,−1)∪ (−1,1)∪ (1,+∞)(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)
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