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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
f) $f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$
f) $f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso tenemos que pedir que $x^2 -1\neq 0$. Despejando, el dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{-1,1 \}$
2) Derivamos $f(x)$
$ f'(x) = \frac{(x^2 - 1) - x \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} $
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$\frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = 0$
$-x^2-1 = 0$
$x^2 = -1 \rightarrow$ Absurdo
Por lo tanto, $f$ no tiene puntos críticos.
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( (-\infty, -1) \)
b) \( (-1, 1) \)
c) \( (1, +\infty) \)
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
Y ahora podés reemplazar con algún número de cada intervalo en $f'(x)$ e ir chequeando qué signo te da, como siempre, pero también si mirás con atención la expresión de $f'(x)$, vas a ver que algo así siempre siempre te va a devolver un número negativo. Por lo tanto, $f$ es siempre decreciente en su dominio.
Recapitulando,
Intervalo de crecimiento: $\emptyset$
Intervalo de decrecimiento: $(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) $